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第2章 新手礼包过目不忘就是爽（第4页）

实际上，p是弦mN上的一个定点。

ipmi?ipNi=i（x1?xp）（x2?xp）i?（1+km2）|pm|cdot|pN|=|（x_1-x_p）（x_2-x_p）|cdot（1+k_m^2）ipmi?ipNi=i（x1?xp）（x2?xp）i?（1+km2），这里km=1k_m=1km=1。

ipmi?ipNi=ix1x2?xp（x1+x2）+xp2i?（1+12）|pm|cdot|pN|=|x_1x_2-x_p（x_1+x_2）+x_p^2|cdot（1+1^2）ipmi?ipNi=ix1x2?xp（x1+x2）+xp2i?（1+12）

ipmi?ipNi=i?12?1（23）+12i?2=i?12?23+1i?2=i?3+4?66i?2=i?16i?2=13|pm|cdot|pN|=|-frac{1}{2}-1（frac{2}{3}）+1^2|cdot2=|-frac{1}{2}-frac{2}{3}+1|cdot2=|-frac{3+4-6}{6}|cdot2=|-frac{1}{6}|cdot2=frac{1}{3}ipmi?ipNi=i?21?1（32）+12i?2=i?21?32+1i?2=i?63+4?6i?2=i?61i?2=31。

这个计算过程，秦风写得极为流畅。

接下来是计算|pA|·|pb|。

直线l的方程为y?12=?1（x?1）y-frac{1}{2}=-1（x-1）y?21=?1（x?1），即y=?x+32y=-x+frac{3}{2}y=?x+23。

代入椭圆方程x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1：

x22+（?x+32）2=1frac{x^2}{2}+（-x+frac{3}{2}）^2=12x2+（?x+23）2=1

x22+x2?3x+94=1frac{x^2}{2}+x^2-3x+frac{9}{4}=12x2+x2?3x+49=1

32x2?3x+54=0frac{3}{2}x^2-3x+frac{5}{4}=023x2?3x+45=0

6x2?12x+5=06x^2-12x+5=06x2?12x+5=0

设A（x?，y?），b（x?，y?），则x3+x4=126=2x_3+x_4=frac{12}{6}=2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3x_4=frac{5}{6}x3x4=65。

同样，p（1，12）是弦Ab的中点。

ipAi?ipbi=i（x3?xp）（x4?xp）i?（1+kl2）|pA|cdot|pb|=|（x_3-x_p）（x_4-x_p）|cdot（1+k_l^2）ipAi?ipbi=i（x3?xp）（x4?xp）i?（1+kl2），这里kl=?1k_l=-1kl=?1。

由于p是Ab中点，所以xp=x3+x42x_p=frac{x_3+x_4}{2}xp=2x3+x4，这意味着x3?xp=?（x4?xp）x_3-x_p=-（x_4-x_p）x3?xp=?（x4?xp）。

因此，ipAi?ipbi=ipAi2=（x3?xp）2（1+kl2）|pA|cdot|pb|=|pA|^2=（x_3-x_p）^2（1+k_l^2）ipAi?ipbi=ipAi2=（x3?xp）2（1+kl2）。

x3，x4x_3，x_4x3，x4是方程$6x^2-12x+5=0的两个根。

判别式的两个根。

判别式的两个根。

判别式delta=（-12）^2-4cdot6cdot5=144-120=24＞0。

。

。

x_{3，4}=frac{12pmsqrt{24}}{12}=1pmfrac{2sqrt{6}}{12}=1pmfrac{sqrt{6}}{6}。

所以，。

所以，。

所以，x_3=1-frac{sqrt{6}}{6}，，，x_4=1+frac{sqrt{6}}{6}（或相反，不影响结果）。

（或相反，不影响结果）。

（或相反，不影响结果）。

|x_3-x_p|=|1-frac{sqrt{6}}{6}-1|=frac{sqrt{6}}{6}。

。

。

|pA|^2=（frac{sqrt{6}}{6}）^2（1+（-1）^2）=frac{6}{36}cdot2=frac{1}{6}cdot2=frac{1}{3}。

所以，。

所以，。

所以，|pA|cdot|pb|=frac{1}{3}$。

“嗯？|pm|·|pN|=13，|pA|·|pb|=13？”