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第2章 新手礼包过目不忘就是爽（第3页）

“a2=2，b2=1。

所以椭圆c的方程为：x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1。”

仅仅两分钟，第一问便被他轻松拿下。

“第二问，设直线l与椭圆c交于A，b两点，若点p（1，12）满足pA向量+pb向量=0向量，求直线l的斜率k。”

“pA+pb=0，意味着p是Ab的中点。

利用点差法或者韦达定理……”

秦风的笔尖在草稿纸上飞舞，各种解题方法在他脑海中闪现，并被迅速筛选出最优路径。

设直线l的方程为y?12=k（x?1）y-frac{1}{2}=k（x-1）y?21=k（x?1），代入椭圆方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程。

（1+2k2）x2?（4k2?2k）x+（2k2?2k?32）=0（1+2k^2）x^2-（4k^2-2k）x+（2k^2-2k-frac{3}{2}）=0（1+2k2）x2?（4k2?2k）x+（2k2?2k?23）=0

利用韦达定理xA+xb=4k2?2k1+2k2x_A+x_b=frac{4k^2-2k}{1+2k^2}xA+xb=1+2k24k2?2k。

因为p是Ab中点，所以xp=xA+xb2=1x_p=frac{x_A+x_b}{2}=1xp=2xA+xb=1。

4k2?2k2（1+2k2）=1frac{4k^2-2k}{2（1+2k^2）}=12（1+2k2）4k2?2k=1

解这个关于k的方程，得到k=?1k=-1k=?1。

“第二问，k=-1，也解决了！”

秦风的嘴角不自觉地勾起一抹笑容。

这种攻克难题的快感，是他以前从未体验过的！

真正的挑战，是第三问。

“第三问，在第二问的条件下，过点p作直线m垂直于l，交椭圆c于m，N两点。

试问是否存在一个常数λ，使得|pm|·|pN|=λ|pA|·|pb|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。”

这一问，涉及弦长公式、向量模长、以及恒成立问题，计算量和思维难度都陡然提升了好几个档次。

秦风的眉头微微蹙起。

他能感觉到，这一问的难度，已经超出了他刚刚强行记忆下来的那些“套路”

所能直接解决的范畴。

它需要更深层次的理解和更灵活的运用。

“冷静……仔细分析……”

秦风闭上眼睛，脑海中刚刚“吞”

下去的无数知识点如同星辰般闪耀。

直线l的斜率为-1，则直线m的斜率为1。

直线m的方程为y?12=1（x?1）y-frac{1}{2}=1（x-1）y?21=1（x?1），即y=x?12y=x-frac{1}{2}y=x?21。

将直线m的方程代入椭圆方程x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1，得到关于x的一元二次方程：

x22+（x?12）2=1frac{x^2}{2}+（x-frac{1}{2}）^2=12x2+（x?21）2=1

x22+x2?x+14=1frac{x^2}{2}+x^2-x+frac{1}{4}=12x2+x2?x+41=1

32x2?x?34=0frac{3}{2}x^2-x-frac{3}{4}=023x2?x?43=0

6x2?4x?3=06x^2-4x-3=06x2?4x?3=0

设m（x?，y?），N（x?，y?），则x1+x2=46=23x_1+x_2=frac{4}{6}=frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=?36=?12x_1x_2=-frac{3}{6}=-frac{1}{2}x1x2=?63=?21。

ipmi?ipNi=（x1?xp）2+（y1?yp）2?（x2?xp）2+（y2?yp）2|pm|cdot|pN|=sqrt{（x_1-x_p）^2+（y_1-y_p）^2}cdotsqrt{（x_2-x_p）^2+（y_2-y_p）^2}ipmi?ipNi=（x1?xp）2+（y1?yp）2?（x2?xp）2+（y2?yp）2

由于点m，N在直线y=x?12y=x-frac{1}{2}y=x?21上，且p（1，12）也在这条直线上（因为直线m过p点），所以pm和pN的表达式可以简化。